2022碩士研究生考研數學二大綱:線性代數考試特點分析

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今天教育部考試中心發布了2022年考研數學大綱。今年的考研數學大綱基本與去年的大綱保持一致。在線性代數科目中,試題難易程度變動雖有區別但也趨于穩定。命題的重點仍是基本概念、基本性質和基本方法。下面就線性代數的基本考情和特點做一個分析。

考研線性代數一共包含六章的內容:行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型??荚囶}型分為選擇、填空和解答,基本的工具有行列式、矩陣、秩、特征值與特征向量,可能出選擇填空題的內容主要是行列式的計算、矩陣的秩、相關無關、解的判定、矩陣的特征值特征向量、矩陣的合同與相似、正定二次型的判定。其中2021年考到了行列式、秩、向量組的解、線性表出、正負慣性指數的內容??赡艹鼋獯痤}的內容,往年有(1)向量與方程組結合的題目,比如把判斷相關無關及能否線性表出,轉化為齊次或齊次線性方程組有解無解的問題;(2)向量、特征值與特征向量或二次型的題目,這部分題目往往計算量比較大。其中2021年數學二大題考到了正交相似對角化的內容。

考研線性代數的特點跟其他科目不同,具體如下:

(1)計算量比較大??佳芯€性代數的大題一般都有兩問,像矩陣方程的求解、線性方程組解的通解、相似和相似對角化、二次型等,這些計算量都非常大,并且前面錯一點后面就全錯了。有些雖然只是簡單的運算,但運算次數較多時,就很容易犯錯,這是考試中經常失分的一個重要原因。

(2)公式定理多,概念抽象??佳芯€性代數內容多,概念多,公式定理多,而且內容比較抽象。比如關于矩陣,就有矩陣相似、矩陣等價、矩陣合同、正定矩陣、正交矩陣等。再有向量部分,相關無關的性質就有7條等。這些瑣碎的知識點無形中增加了考生的記憶負擔,復習中要多次背誦記憶。再有秩的相關概念,線性代數中幾乎所有重要的定理都可以通過秩來表述,對秩的理解深度決定了整個線性代數的復習高度,但對于具體的矩陣求秩,可以通過初等行變換化階梯型,根據階梯型中非零行的個數來求;對于抽象型的,可以利用定義來求,也可以與向量結合,還可以由向量的相關性及向量組的秩來判定;還可以借助矩陣(方陣)非零特征值個數等方法來判定。所以學習秩,我們不僅要掌握本身的概念,也要把握好與其他知識點之間的聯系,就對學生的能力提出了更高的要求。

(3)靈活度高??佳芯€性代數經常稍加改變條件就會導致整個解題方法全部發生變化,所以出題非常靈活多變。比如計算或討論兩個線性方程組公共解的問題,①如果兩個線性方程組都是已知的,則將這兩個線性方程組聯立求解;②如果兩個線性方程組其中一個已知,另一個線性方程組的通解是已知的,則可以將后一個線性方程組的通解直接代入前一個線性方程組,求出使得通解滿足另一個線性方程組的條件;③如果兩個線性方程組都只知道通解,則可以令兩邊的通解相等,求出使得兩邊通解相等時的條件。

(4)綜合性強,考研線性代數的知識點之間聯系是非常緊密的,因此很容易出綜合性大題,經常一道題考幾個章節的內容。

(5)推理證明

考研線性代數還會考察學生的邏輯推理能力,比如證明相關無關,但很多考生這方面的能力欠缺,不知道如何處理應用題和證明題,往往失分較多??忌幸庾R得鍛煉自己,總結證明題的出題規律,總結解題思路和解題方法,避免在考試中失分。

針對線性代數的考試特點,考生在備考時要注意一下幾點:

(1)抓主線

線性代數內容看似雜亂,但實際“形散而神不散”。要想學好線性代數,一定要抓住主線——線性方程組,把各個章節的內容串起來。

(2)重基礎

考研線性代數試題對基本概念、基本性質和基本方法都有考查。對于基本概念,要區分哪些了解即可,比如矩陣、向量的定義等,哪些會直接考查,比如基礎解系、相關無關、矩陣相似、合同、二次型等。有些基本知識點是考生容易忽略的,像矩陣相似、矩陣等價及矩陣合同的判斷,往往會忽略本身的定義,混淆概念。對于基本性質,要準確記憶,注意區分行列式的運算性質與矩陣運算性質的不同,有無正負號等問題。對于基本方法要有整體的認識,比如數值型和抽象型行列式計算方法,齊次非齊次線性方程組的求解等問題,要掌握基本求解方法,再加上一定的訓練,就能實現穩定得分。

(3)勤加練習,重視計算

線性代數選擇填空題一道題5分,分值增加,計算量也會適當加大,但總體難度不大,主要是把握好解題思路。在解答題中,計算量往往非常繁瑣,一個是知識點綜合性比較強,一個是計算步驟多,所以同學們要認真對待,在做題中訓練自己的靈活解題能力和計算能力。

隨著2022年考研數學大綱的發布,備考逐漸進入沖刺階段。數學的學習是沒有捷徑的,經過暑假充電之后,大部分同學也能感受到線性代數的獨特之處了。9月份要繼續努力,不能松懈。復習過的知識點和重要題型,也要適當會看,溫故而知新,為自己的未來拼搏一番。

文章來源:2022碩士研究生考研數學二大綱:線性代數考試特點分析